Derivadas Parciales

 

¿Cómo calcular la derivada de una composición de funciones de varias variables?

Las derivadas parciales de una función con varias variables independientes son las que se consiguen tomando la derivada ordinaria en una de las variables, mientras las otras se mantienen o se toman como constantes.

Es claro que la fórmula (cadenavar), indica que, para calcular la derivada de una composición de funciones de varias variables, se tienen que calcular las matrices de derivadas parciales de las funciones componentes, evaluarlas en un punto, luego multiplicarlas.

La derivada parcial de la función z = f (x, y), respecto de x se define como:

Ahora bien, hay varias maneras de denotar a la derivada parcial de una función, por ejemplo:

La diferencia con la derivada ordinaria, en cuanto a notación, es que la d de derivación se cambia por el símbolo ∂, conocido como “D de Jacobi”.

Regla de la cadena

Una función f(x,y) con derivadas parciales continuas en x e y, que a su vez depende de un parámetro t a través de x=x(t) y y=y(t), tiene derivada ordinaria respecto de la variable t, la cual se calcula mediante la regla de la cadena: 

Ejemplos resuletos:

1. Calcular la primera derivada parcial con respecto a x y la primera derivada parcial con respecto a y:

Para calcular la parcial de f respecto de x, se toma y como constante:

∂xf = ∂x( -3x2 + 2(y – 3)2 ) = ∂x( -3x2 )+ ∂x( 2(y – 3)2 ) = -3 ∂x(x2) + 0 = -6x.

Y a su vez, para calcular la derivada con respecto a y se toma x como constante:

∂yf = ∂y( -3x2 + 2(y – 3)2 ) = ∂y( -3x2 )+ ∂y( 2(y – 3)2 ) = 0 + 2·2(y – 3) = 4y – 12.

2. Determinar las derivadas parciales de segundo orden:  ∂xxf, ∂yyf, ∂yxf y ∂xyf para la misma función f del ejemplo 1.

En este caso, como ya está calculada la primera derivada parcial en x e y (ver ejemplo 1):

∂xxf = ∂x(∂xf) = ∂x(-6x) = -6

∂yyf = ∂y(∂yf) = ∂y(4y – 12) = 4

∂yxf = ∂y(∂xf) = ∂y(-6x) = 0

∂xyf = ∂x(∂yf) = ∂x(4y – 12) = 0

Se observa que ∂yxf = ∂xyf, cumpliéndose así el teorema de Schwarz, dado que la función f y sus derivadas parciales de primer orden son todas funciones continuas en R2.

Fuente consultada: Derivadas parciales: propiedades, cálculo, ejercicios (lifeder.com)